Упр.239 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с постоянными скоростями $$40\ \text{км/ч}$$ и $$50\ \text{км/ч}$$. Считая, что улицы прямолинейные и пересекаются под прямым углом, а также зная, что в некоторый момент времени автомашины находятся от перекрестка на расстоянии $$2\ \text{км}$$ и $$3\ \text{км}$$ соответственно, определите, через какое время расстояние между ними станет наименьшим.

Пусть $$t$$ ч — искомый момент времени.

Тогда расстояния машин до перекрёстка равны:

$$OA=2-40t,\qquad OB=3-50t.$$

Расстояние между машинами:

$$S(t)=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{(2-40t)^2+(3-50t)^2}.$$

Упростим:

$$S(t)=\sqrt{4-160t+1600t^2+9-300t+2500t^2}=\sqrt{13-460t+4100t^2}.$$

Так как корень возрастает, достаточно найти минимум выражения под корнем:

$$f(t)=4100t^2-460t+13.$$

Это квадратная функция, её минимум достигается в вершине:

$$t=\frac{-(-460)}{2\cdot 4100}=\frac{460}{8200}=\frac{23}{410}.$$

Ответ: $$\frac{23}{410}$$ ч.