Упр.239 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=2\sin^2 x-\sqrt2\,x$$

$$f'(x)=(2\sin^2 x-\sqrt2\,x)’=2(\sin^2 x)’-\sqrt2=2\sin 2x-\sqrt2.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2\sin 2x-\sqrt2=0,$$

$$\sin 2x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{8}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь решим неравенство $$f'(x)>0$$:

$$2\sin 2x-\sqrt2>0,$$

$$\sin 2x>\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=2x+\cos(4x-\pi)$$

Так как $$\cos(4x-\pi)=-\cos 4x,$$ то

$$f(x)=2x-\cos 4x.$$

Тогда

$$f'(x)=2+4\sin 4x.$$

Приравниваем к нулю:

$$2+4\sin 4x=0,$$

$$\sin 4x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Решим неравенство $$f'(x)>0$$:

$$2+4\sin 4x>0,$$

$$\sin 4x>-\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<4x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=\cos 2x$$

$$f'(x)=(\cos 2x)’=-2\sin 2x.$$

Приравниваем к нулю:

$$-2\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x=0,$$

$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь решим неравенство $$f'(x)>0$$:

$$-2\sin 2x>0,$$

$$\sin 2x<0.$$

Тогда

$$\pi+2\pi n<2x<2\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$f(x)=\sin 2x-\sqrt3\,x$$

$$f'(x)=(\sin 2x-\sqrt3\,x)’=2\cos 2x-\sqrt3.$$

Приравниваем к нулю:

$$2\cos 2x-\sqrt3=0,$$

$$\cos 2x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$2x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Решим неравенство $$f'(x)>0$$:

$$2\cos 2x-\sqrt3>0,$$

$$\cos 2x>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и значит

$$-\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$f'(x)=0$$ при $$x=\frac{\pi}{8}+\pi n$$ или $$x=\frac{3\pi}{8}+\pi n$$; $$f'(x)>0$$ при $$\frac{\pi}{8}+\pi n<x<\frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$f'(x)=0$$ при $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n$$ или $$x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n$$; $$f'(x)>0$$ при $$-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n<x<\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi}{2}n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$f'(x)=0$$ при $$x=\frac{\pi}{2}n$$; $$f'(x)>0$$ при $$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$f'(x)=0$$ при $$x=\pm\frac{\pi}{12}+\pi n$$; $$f'(x)>0$$ при $$-\frac{\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$