Упр.239 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите минимальное значение функции $$f(x)=2x+18?^2/x+\cos(x)$$ на интервале $$(0;10)$$.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x}+\cos x,\qquad x\in(0;10).$$

Обозначим

$$g(x)=2x+\frac{18\pi^2}{x},\qquad p(x)=\cos x.$$

Тогда

$$g'(x)=2-\frac{18\pi^2}{x^2}.$$

При $$x\le 3\pi$$ имеем

$$x^2\le 9\pi^2 \Rightarrow \frac{18\pi^2}{x^2}\ge 2,$$

значит, $$g'(x)\le 0.$$ Следовательно, на промежутке $$x\le 3\pi$$ функция $$g(x)$$ убывает.

Также

$$p'(x)=-\sin x.$$

При $$x\ge 3\pi$$ на рассматриваемом промежутке значение $$\cos x$$ не меньше $$-1$$, а минимум суммы достигается при $$x=3\pi$$, где одновременно

$$g(3\pi)=2\cdot 3\pi+\frac{18\pi^2}{3\pi}=6\pi+6\pi=12\pi,$$

$$\cos 3\pi=-1.$$

Тогда

$$f(3\pi)=12\pi-1.$$

Это и есть минимальное значение функции на интервале $$(0;10)$$.

Ответ: $$12\pi-1$$.