Упр.238 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — диагонали параллелограмма. Тогда

$$a+b=12,\qquad b=12-a.$$

Сумма квадратов всех его сторон равна

$$S(a)=a^2+b^2=a^2+(12-a)^2.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(a)=2a-2(12-a)=4a-24.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$4a-24=0,\qquad a=6.$$

Тогда $$b=12-6=6$$, и

$$S_{\min}=6^2+6^2=36+36=72.$$

Ответ

$$72\ \text{см}^2$$