Упр.238 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- К реке шириной $$a$$ проведён под прямым углом канал шириной $$b$$. Какую максимальную длину могут иметь суда, чтобы пройти в канал? (Переменные $$a$$ и $$b$$ измеряются в метрах.)
Пусть $$\alpha$$ — угол наклона судна к берегу. Тогда длина судна равна сумме двух отрезков:
$$L(\alpha)=|AO|+|OB|=\frac{a}{\sin\alpha}+\frac{b}{\cos\alpha}, \qquad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Найдём минимум этой функции, так как именно он и даёт наибольшую длину судна, которое ещё может пройти в канал.
$$L'(\alpha)=-\frac{a\cos\alpha}{\sin^2\alpha}+\frac{b\sin\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{b\sin^3\alpha-a\cos^3\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}.$$
Приравниваем производную к нулю:
$$b\sin^3\alpha-a\cos^3\alpha=0,$$
откуда
$$b\tan^3\alpha=a,\qquad \tan\alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}.$$
Теперь подставим это значение в выражение для $$L(\alpha)$$. Так как
$$\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}, \qquad \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}},$$
то
$$L(\alpha)=\frac{a}{\sin\alpha}+\frac{b}{\cos\alpha} =\left(\frac{a}{\tan\alpha}+b\right)\sqrt{1+\tan^2\alpha}.$$
Подставляя $$\tan\alpha=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$, получаем
$$L_{\max}=\left(a\sqrt[3]{\frac{b}{a}}+b\right)\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{a^2}{b^2}}} =\left(a^{\frac23}b^{\frac13}+b\right)\sqrt{\frac{b^{\frac23}+a^{\frac23}}{b^{\frac23}}}.$$
После упрощения:
$$L_{\max}=\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right)^{\frac32}.$$
Ответ
$$\left(a^{\frac23}+b^{\frac23}\right)^{\frac32}$$
