Упр.237 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна $$20\ \text{см}$$. Какой длины должны быть катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$a+b=20,\qquad b=20-a.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 ab=\frac12 a(20-a).$$

Это квадратичная функция:

$$S(a)=10a-\frac12 a^2.$$

Её максимум достигается в вершине параболы:

$$a=\frac{-10}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=10.$$

Тогда

$$b=20-10=10.$$

Ответ: $${10\text{ см и }10\text{ см}}$$.