Упр.237 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите число корней данного уравнения в зависимости от параметра $$a$$: а) $$x^3-3x=a$$; б) $$|x^2-4x+3|=ax$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x.$$
Её производная:
$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$
Значит, функция возрастает при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1,$$ а убывает при $$-1<x<1.$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2,$$
$$f(1)=1^3-3\cdot 1=-2.$$
Горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции:
- в одной точке, если $$|a|>2$$;
- в двух точках, если $$|a|=2$$;
- в трёх точках, если $$|a|<2.$$
б) Рассмотрим уравнение $$|x^2-4x+3|=ax.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$ax\ge 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Тогда
$$|x^2-4x+3|=\begin{cases} x^2-4x+3, & x\le 1 \text{ или } x\ge 3,\\ -x^2+4x-3, & 1<x<3. \end{cases}$$
1) При $$x\le 1$$ или $$x\ge 3$$:
$$x^2-4x+3=ax,$$
$$x^2-(a+4)x+3=0.$$
Чтобы уравнение имело корни на этих промежутках, рассматриваем дискриминант:
$$D=(a+4)^2-12=a^2+8a+4.$$
Граница появления кратного корня задаётся равенством
$$a^2+8a+4=0,$$
откуда
$$a=-4\pm \sqrt{12}.$$
2) При $$1<x<3$$:
$$-x^2+4x-3=ax,$$
$$x^2+(a-4)x+3=0.$$
Аналогично получаем
$$D=(a-4)^2-12=a^2-8a+4,$$
и
$$a^2-8a+4=0,$$
откуда
$$a=4\pm \sqrt{12}.$$
С учётом знака $$ax\ge 0$$ и расположения корней получаем число корней уравнения:
- нет корней при $$-4-\sqrt{12}<a<0$$;
- один корень при $$a=-4-\sqrt{12}$$;
- два корня при $$a<-4-\sqrt{12},\ 0<a<{4-\sqrt{12}}$$;
- три корня при $$a=4-\sqrt{12}$$;
- четыре корня при $$0<a<4-\sqrt{12}.$$
Ответ: а) $$1$$ корень при $$|a|>2,$$ $$2$$ корня при $$|a|=2,$$ $$3$$ корня при $$|a|<2.$$
б) $$0$$ корней при $$-4-\sqrt{12}<a<0,$$ $$1$$ корень при $$a=-4-\sqrt{12},$$ $$2$$ корня при $$a<-4-\sqrt{12},\ 0<a<4-\sqrt{12},$$ $$3$$ корня при $$a=4-\sqrt{12},$$ $$4$$ корня при $$0<a<4-\sqrt{12}.$$
