Упр.236 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Число $$10$$ представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наибольшей; б) наименьшей.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — неотрицательные числа, причём

$$x+y=10,\qquad y=10-x.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$S(x)=x^3+y^3=x^3+(10-x)^3.$$

Найдём производную:

$$S'(x)=3x^2-3(10-x)^2=3\bigl(x^2-(10-x)^2\bigr)=3(2x-10)\cdot 10?$$

Упростим аккуратно:

$$S'(x)=3x^2-3(100-20x+x^2)=60x-300=60(x-5).$$

Тогда:

• при $$x<5$$ имеем $$S'(x)<0$$, значит $$S(x)$$ убывает;
• при $$x>5$$ имеем $$S'(x)>0$$, значит $$S(x)$$ возрастает.

Следовательно, наименьшее значение сумма кубов принимает при $$x=5$$, то есть

$$x=5,\qquad y=5.$$

Наибольшее значение на отрезке $$0\le x\le 10$$ достигается на концах:

$$x=0,\ y=10 \quad \text{или} \quad x=10,\ y=0.$$

Значит, искомые разложения числа $$10$$:

а) $$10+0$$;

б) $$5+5$$.

Ответ: а) $$10+0$$; б) $$5+5$$.