Упр.236 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\ln(x)=1-x$$;

б) $$2^x=3-x$$.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\ln x+x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x}+1.$$

При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{x}>0$$, значит $$f'(x)>0$$. Следовательно, функция $$f(x)$$ строго возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$

Проверим значение при $$x=1$$:

$$\ln 1+1=0+1=1.$$

Значит, уравнение $$\ln x=1-x$$ имеет единственный корень:

$$x=1.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=2^x+x.$$

Тогда уравнение можно записать в виде:

$$2^x+x=3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2^x\ln 2+1.$$

Так как $$2^x>0$$ и $$\ln 2>0$$, то $$f'(x)>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ строго возрастает на всей числовой прямой.

Проверим значение при $$x=1$$:

$$2^1+1=2+1=3.$$

Значит, уравнение $$2^x=3-x$$ имеет единственный корень:

$$x=1.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1$$.