Упр.235 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (если они существуют) на данном промежутке:
- а) $$f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,\quad [1;3];$$
б) $$f(x)=2\cos(x)-\cos(2x),\quad [0;?];$$
в) $$f(x)=\frac{2}{x}+x^2,\quad \left[\frac{1}{2};1\right];$$
г) $$f(x)=\sin(x)-x,\quad [-?;?].$$
а) $$f(x)=18x^2+8x^3-3x^4,\quad x\in[1;3].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=36x+24x^2-12x^3=12x(3+2x-x^2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x^2-2x-3=0,$$ то есть $$x=-1,\; x=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ подходит только точка $$x=3,$$ а также нужно проверить конец отрезка $$x=1.$$
$$f(1)=18+8-3=23,$$
$$f(3)=18\cdot 9+8\cdot 27-3\cdot 81=162+216-243=135.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$135,$$ наименьшее — $$23.$$
б) $$f(x)=2\cos x-\cos 2x,\quad x\in[0;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2\sin x+2\sin 2x=2\sin x(2\cos x-1).$$
Критические точки на отрезке:
$$\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi,$$
$$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$f(0)=2\cdot 1-1=1,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot \frac12-\cos\frac{2\pi}{3}=1- \left(-\frac12\right)=\frac32,$$
$$f(\pi)=2\cdot(-1)-1=-3.$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac32,$$ наименьшее — $$-3.$$
в) $$f(x)=\frac{2}{x}+x^2,\quad x\in\left[\frac12;1\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+2x.$$
Приравняем к нулю:
$$-\frac{2}{x^2}+2x=0 \Rightarrow -2+2x^3=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1.$$
Проверим значения на концах отрезка:
$$f\!\left(\frac12\right)=\frac{2}{1/2}+\left(\frac12\right)^2=4+\frac14=\frac{17}{4},$$
$$f(1)=2+1=3.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{17}{4},$$ наименьшее — $$3.$$
г) $$f(x)=\sin x-x,\quad x\in[-\pi;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x-1\le 0.$$
Значит, функция не возрастает на всём отрезке $$[-\pi;\pi].$$ Поэтому наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:
$$f(-\pi)=\sin(-\pi)-(-\pi)=\pi,$$
$$f(\pi)=\sin\pi-\pi=-\pi.$$
Итак, наибольшее значение равно $$\pi,$$ наименьшее — $$-\pi.$$
Ответ: а) $$135,\ 23$$; б) $$\frac32,\ -3$$; в) $$\frac{17}{4},\ 3$$; г) $$\pi,\ -\pi$$.
