Упр.235 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство: а) $$e^x>1+x$$ при $$x>0$$; б) $$\ln(1+x)0$$.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=e^x-x-1.$$

Тогда

$$f'(x)=e^x-1.$$

При $$x>0$$ имеем $$e^x>1$$, значит $$f'(x)>0.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ возрастает при $$x>0$$. Кроме того,

$$f(0)=e^0-0-1=1-1=0.$$

Значит, при $$x>0$$

$$f(x)>f(0)=0,$$

то есть

$$e^x>1+x.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\ln(1+x)-x.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}.$$

При $$x>0$$ имеем $$1+x>0$$ и $$-x<0$$, значит $$f'(x)<0.$$ Следовательно, функция $$f(x)$$ убывает при $$x>0$$. Кроме того,

$$f(0)=\ln 1-0=0.$$

Значит, при $$x>0$$

$$f(x)<f(0)=0,$$

то есть

$$\ln(1+x)<x.$$

Ответ

$$e^x>1+x \quad (x>0), \qquad \ln(1+x)<x \quad (x>0).$$