Упр.234 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln(x)$$; б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$; в) $$f(x)=2^{x^2-4x}$$; г) $$f(x)=x-\ln(x)$$.

а) $$f(x)=\sqrt{x}\ln x$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}.$$

Так как $$2\sqrt{x}>0$$ при $$x>0,$$ то знак производной определяется числителем:

$$\ln x+2\ge 0 \iff \ln x\ge -2 \iff x\ge e^{-2}.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left(0;e^{-2}\right]$$ и возрастает на $$\left[e^{-2};+\infty\right).$$

Минимум достигается при $$x=e^{-2}:$$

$$f\!\left(e^{-2}\right)=\sqrt{e^{-2}}\ln\!\left(e^{-2}\right)=e^{-1}\cdot(-2)=-\frac{2}{e}.$$

Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\sqrt{x}\ln x=0 \iff \ln x=0 \iff x=1.$$

Итак, $$D(f)=(0;+\infty), \quad E(f)=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right).$$

б) $$f(x)=\frac{e^x}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

Так как $$e^x>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется выражением $$x-1.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$

Минимум при $$x=1:$$

$$f(1)=\frac{e^1}{1}=e.$$

Кроме того,

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{e^x}{x}=0,$$

поэтому при $$x<0$$ значения функции отрицательны, а при $$x>0$$ — положительны. Тогда

$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty).$$

в) $$f(x)=2^{x^2-4x}$$

Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2^{x^2-4x}\ln 2\,(2x-4).$$

Так как $$2^{x^2-4x}>0$$ и $$\ln 2>0,$$ знак производной определяется множителем $$2x-4.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$

Минимум при $$x=2:$$

$$f(2)=2^{2^2-4\cdot 2}=2^{-4}=\frac{1}{16}.$$

Значит,

$$E(f)=\left[\frac{1}{16};+\infty\right).$$

г) $$f(x)=x-\ln x$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

При $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1.$$

Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right]$$ и возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$

Минимум при $$x=1:$$

$$f(1)=1-\ln 1=1.$$

Следовательно,

$$D(f)=(0;+\infty), \quad E(f)=[1;+\infty).$$

Ответ: для всех четырёх функций найдены области определения, промежутки монотонности и значения минимумов:
$$\begin{aligned} &\text{а) } D=(0;+\infty),\ E=\left[-\frac{2}{e};+\infty\right);\\ &\text{б) } D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E=(-\infty;0)\cup[e;+\infty);\\ &\text{в) } D=(-\infty;+\infty),\ E=\left[\frac{1}{16};+\infty\right);\\ &\text{г) } D=(0;+\infty),\ E=[1;+\infty). \end{aligned}$$