Упр.234 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные функций и подставим нужные значения.

1. $$f(x)=\frac12\cos(2x-\pi)=\frac12\cos(\pi-2x)=-\frac12\cos 2x$$

   Тогда

   $$f'(x)=\left(-\frac12\cos 2x\right)’=-\frac12\cdot(-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x$$

   $$f'(0)=\sin 0=0$$

   $$f'(\pi)=\sin 2\pi=0$$

2. $$f(x)=x-\tg(-2x)=x+\tg 2x$$

   Тогда

   $$f'(x)=(x+\tg 2x)’=1+\frac{1}{\cos^2 2x}\cdot 2=1+\frac{2}{\cos^2 2x}$$

   $$f'(0)=1+\frac{2}{\cos^2 0}=1+\frac{2}{1}=3$$

   $$f'(\pi)=1+\frac{2}{\cos^2 2\pi}=1+\frac{2}{1}=3$$

3. $$f(x)=3\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)$$

   Тогда

   $$f'(x)=3\left(\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\right)’=3\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\cdot\frac13=\cos\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{2}\right)$$

   Используем формулу $$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\sin t$$:

   $$f'(x)=\sin\frac{x}{3}$$

   $$f'(0)=\sin 0=0$$

   $$f'(\pi)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$$

4. $$f(x)=2\cos\frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$f'(x)=2\left(\cos\frac{x}{2}\right)’=2\cdot\left(-\sin\frac{x}{2}\right)\cdot\frac12=-\sin\frac{x}{2}$$

   $$f'(0)=-\sin 0=0$$

   $$f'(\pi)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1$$

Ответ

а) $$f'(0)=0,\quad f'(\pi)=0$$
б) $$f'(0)=3,\quad f'(\pi)=3$$
в) $$f'(0)=0,\quad f'(\pi)=\frac{\sqrt3}{2}$$
г) $$f'(0)=0,\quad f'(\pi)=-1$$