Упр.234 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что если $$x\in(0;\pi/2)$$, то:
а) $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}$$;
б) $$\sin x>x-\frac{x^3}{6}$$;
в) $$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$;
г) $$\sin x

Рассмотрим функцию, соответствующую каждой разности, и исследуем её с помощью производных.

а)

Докажем, что $$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}-1.$$ Тогда

$$f'(x)=-\sin x+x,$$

$$f»(x)=1-\cos x\ge 0.$$

Значит, $$f'(x)$$ возрастает. При $$x=0$$ имеем $$f'(0)=0$$, следовательно, при $$x>0$$ выполняется $$f'(x)>0$$. Тогда $$f(x)$$ возрастает на $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$. Так как

$$f(0)=\cos 0+\frac{0^2}{2}-1=0,$$

то при $$x>0$$ получаем $$f(x)>0$$, то есть

$$\cos x>1-\frac{x^2}{2}.$$

б)

Докажем, что $$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^3}{6}+\sin x-x.$$ Тогда

$$f'(x)=\frac{x^2}{2}+\cos x-1,$$

$$f»(x)=x-\sin x,$$

$$f»'(x)=1-\cos x\ge 0.$$

Следовательно, $$f»(x)$$ возрастает. При $$x=0$$ имеем $$f»(0)=0$$, значит, при $$x>0$$ выполняется $$f»(x)>0$$. Тогда $$f'(x)$$ возрастает, а поскольку

$$f'(0)=0,$$

то при $$x>0$$ имеем $$f'(x)>0$$. Следовательно, $$f(x)$$ возрастает, и так как

$$f(0)=0,$$

то $$f(x)>0$$. Значит,

$$\sin x>x-\frac{x^3}{6}.$$

в)

Докажем, что $$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\cos x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}-1.$$ Тогда

$$f'(x)=-\sin x+x-\frac{x^3}{6},$$

$$f»(x)=-\cos x+1-\frac{x^2}{2},$$

$$f»'(x)=\sin x-x,$$

$$f»»(x)=\cos x-1\le 0.$$

Следовательно, $$f»'(x)$$ убывает. При $$x=0$$ имеем $$f»'(0)=0$$, значит, при $$x>0$$ выполняется $$f»'(x)<0$$. Тогда $$f»(x)$$ убывает, а поскольку

$$f»(0)=0,$$

то при $$x>0$$ имеем $$f»(x)<0$$. Следовательно, $$f'(x)$$ убывает, и так как

$$f'(0)=0,$$

то при $$x>0$$ выполняется $$f'(x)<0$$. Значит, $$f(x)$$ убывает, а из

$$f(0)=0$$

получаем $$f(x)<0$$. Следовательно,

$$\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}.$$

г)

Докажем, что $$\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

Рассмотрим функцию $$f(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{120}.$$ Тогда

$$f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24},$$

$$f»(x)=-\sin x+x-\frac{x^3}{6},$$

$$f»'(x)=-\cos x+1-\frac{x^2}{2},$$

$$f»»(x)=-\sin x-x,$$

$$f»»'(x)=-\cos x-1\le 0.$$

Следовательно, $$f»»(x)$$ убывает. При $$x=0$$ имеем $$f»»(0)=0$$, значит, при $$x>0$$ выполняется $$f»»(x)<0$$. Тогда $$f»'(x)$$ убывает, и из $$f»'(0)=0$$ получаем $$f»'(x)<0$$ при $$x>0$$. Далее $$f»(x)$$ убывает, а так как $$f»(0)=0$$, то $$f»(x)<0$$. Аналогично, $$f'(x)$$ убывает, $$f'(0)=0$$, значит, $$f'(x)<0$$. Следовательно, $$f(x)$$ убывает, и из $$f(0)=0$$ получаем $$f(x)<0$$. Значит,

$$\sin x<x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$

Ответ

Все четыре неравенства доказаны.