Упр.233 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $$f(x)=1-2\sin(2x)$$;

б) $$f(x)=\cos^2(x)-\cos(x)$$;

в) $$f(x)=3-\cos\left(\frac{x}{2}\right)$$;

г) $$f(x)=\sin^2(x)-\sin(x)$$.

а) $$f(x)=1-2\sin 2x$$

$$f'(x)=-4\cos 2x$$
$$f'(x)\ge 0 \iff \cos 2x\le 0$$
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{3\pi}{4}+\pi n;\,\frac{5\pi}{4}+\pi n\right]$$.

Минимум достигается при $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$:
$$f_{\min}=1-2\sin\frac{\pi}{2}=-1.$$
Максимум достигается при $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$:
$$f_{\max}=1-2\sin\frac{3\pi}{2}=3.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-1;3].$$

б) $$f(x)=\cos^2 x-\cos x$$

$$f'(x)=-2\cos x\sin x+\sin x=\sin x(1-2\cos x)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff \sin x(1-2\cos x)\ge 0$$

Отсюда:

• при $$\sin x\ge 0$$ и $$\cos x\le \frac12$$: $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \pi+2\pi n$$;
• при $$\sin x\le 0$$ и $$\cos x\ge \frac12$$: $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le 2\pi n$$.

Значит, функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right]$$
и убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$.

$$f(0)=0,\qquad f(\pi)=1-(-1)=2,$$
а при $$\cos x=\frac12$$ получаем
$$f=\left(\frac12\right)^2-\frac12=-\frac14.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=\left[-\frac14;2\right].$$

в) $$f(x)=3-\cos\frac{x}{2}$$

$$f'(x)=\frac12\sin\frac{x}{2}$$
$$f'(x)\ge 0 \iff \sin\frac{x}{2}\ge 0$$
$$4\pi n\le x\le 2\pi+4\pi n$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left[4\pi n;\,2\pi+4\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[2\pi+4\pi n;\,4\pi+4\pi n\right]$$.

Минимум:
$$x=4\pi n,\qquad f_{\min}=3-\cos 2\pi=2.$$
Максимум:
$$x=2\pi+4\pi n,\qquad f_{\max}=3-\cos\pi=4.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[2;4].$$

г) $$f(x)=\sin^2 x-\sin x$$

$$f'(x)=2\sin x\cos x-\cos x=\cos x(2\sin x-1)$$
$$f'(x)\ge 0 \iff \cos x\left(\sin x-\frac12\right)\ge 0$$

Отсюда:

• при $$\cos x\ge 0$$ и $$\sin x\ge \frac12$$: $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$;
• при $$\cos x\le 0$$ и $$\sin x\le \frac12$$: $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$.

Значит, функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$
и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]$$.

При $$\sin x=\frac12$$:
$$f=\left(\frac12\right)^2-\frac12=-\frac14.$$
При $$\sin x=1$$:
$$f=1-1=0.$$
При $$\sin x=-1$$:
$$f=1-(-1)=2.$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=\left[-\frac14;2\right].$$