Упр.233 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Что больше: а) $$3^{\sqrt{2}}$$ или $$2^{\sqrt{3}}$$; б) $$\left(\frac{1}{1987}\right)^{\frac{1}{1987}}$$ или $$\left(\frac{1}{1988}\right)^{\frac{1}{1988}}$$?

Подробный ответ

Пусть $$f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}.$$ Тогда

$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x}-\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} =\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}.$$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то знак производной определяется числителем. При $$x\le e^2$$ имеем $$f'(x)\ge 0$$, значит, на этом промежутке функция возрастает.

Сравним числа $$3^{\sqrt2}$$ и $$2^{\sqrt3}$$, взяв логарифмы:

$$\ln\left(3^{\sqrt2}\right)=\sqrt2\,\ln 3,\qquad \ln\left(2^{\sqrt3}\right)=\sqrt3\,\ln 2.$$

Так как $$\frac{\ln 3}{\sqrt3}>\frac{\ln 2}{\sqrt2},$$ то

$$\sqrt2\,\ln 3>\sqrt3\,\ln 2,$$

следовательно,

$$3^{\sqrt2}>2^{\sqrt3}.$$

Аналогично рассмотрим функцию $$f(x)=x^x.$$ Тогда

$$f(x)=\left(e^{\ln x}\right)^x=e^{x\ln x},$$

$$f'(x)=e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1).$$

При $$x\ge e^{-1}$$ производная неотрицательна, значит, функция возрастает. Так как

$$\frac{1}{1987}<\frac{1}{1988},$$

то для возрастающей функции $$x^x$$ получаем