Упр.232 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$; б) $$f(x)=\frac{8}{x}+\frac{x}{2}$$; в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$; г) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$.
а) $$f(x)=x^2(x-2)^2$$
$$f'(x)=2x(x-2)^2+x^2\cdot 2(x-2)=2x(x-2)(2x-2)=4x(x-1)(x-2).$$
Критические точки: $$x=0,\;1,\;2.$$
Знак производной:
$$f'(x)<0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(1;2),$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (0;1)\cup(2;+\infty).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [1;2],$$ возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty).$$
$$f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(2)=0.$$
Минимумы: $$x=0,\;2,\; f_{\min}=0.$$ Максимум на промежутке между ними: $$x=1,\; f(1)=1.$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$
б) $$f(x)=\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}$$
$$f'(x)=-\dfrac{8}{x^2}+\dfrac12=\dfrac{x^2-16}{2x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \text{ при } |x|>4,\qquad f'(x)<0 \text{ при } 0<|x|<4.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$
$$f(-4)=-2-2=-4,\qquad f(4)=2+2=4.$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty).$$
в) $$f(x)=x^3-3x^2-9x$$
$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$
Критические точки: $$x=-1,\;3.$$
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(3;+\infty),$$
$$f'(x)<0 \text{ на } (-1;3).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$
$$f(-1)=-1-3+9=5,\qquad f(3)=27-27-27=-27.$$
$$D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
г) $$f(x)=\dfrac{x}{4-x^2}$$
Область определения: $$4-x^2\ne 0,\; x\ne \pm 2,$$ значит $$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.$$
$$f'(x)=\dfrac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\dfrac{4+x^2}{(4-x^2)^2}.$$
Так как $$4+x^2>0$$ и $$(4-x^2)^2>0$$ при $$x\ne \pm 2,$$ то
$$f'(x)>0 \text{ на всей области определения.}$$
Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty).$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$
Ответ
а) $$D=\mathbb{R},\; E=[0;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;2],$$ возрастает на $$[0;1]\cup[2;+\infty).$$
б) $$D=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\; E=(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-4;0)\cup(0;4].$$
в) $$D=\mathbb{R},\; E=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[-1;3].$$
г) $$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\},\; E=\mathbb{R},$$ возрастает на $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty).$$
