Упр.231 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций: а) $$f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)$$; б) $$f(x)=2-\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$; в) $$f(x)=2\sin(x)+\cos(2x)$$; г) $$f(x)=3x-\cos(3x)$$.

а) $$f(x)=\cos 2x-2\cos x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-2\sin 2x+2\sin x=2\sin x-4\sin x\cos x=2\sin x(1-2\cos x).$$

Критические точки определяются из уравнения

$$2\sin x(1-2\cos x)=0,$$

то есть

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Исследование знака производной даёт:

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right],$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right].$$

Точки минимума и максимума:

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=2-\sin\frac{x}{2}.$$

Производная:

$$f'(x)=-\frac12\cos\frac{x}{2}.$$

Для возрастания нужно

$$-\frac12\cos\frac{x}{2}\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos\frac{x}{2}\le 0.$$

Значит,

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right],$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Точки экстремума:

$$x_{\min}=\pi+4\pi n,\qquad x_{\max}=3\pi+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$f(x)=2\sin x+\cos 2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x=2\cos x-4\sin x\cos x=2\cos x(1-2\sin x).$$

Критические точки:

$$2\cos x(1-2\sin x)=0,$$

то есть

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

По знаку производной получаем:

$$f(x)\ \text{возрастает на}\ \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],$$

$$f(x)\ \text{убывает на}\ \left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Точки экстремума:

$$x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$f(x)=3x-\cos 3x.$$

Производная:

$$f'(x)=3+3\sin 3x=3(1+\sin 3x).$$

Так как $$\sin 3x\ge -1,$$ то

$$f'(x)\ge 0 \quad \text{при всех } x\in\mathbb R.$$

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой и точек максимума и минимума не имеет.

Ответ

а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]\cup\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,2\pi n\right],$$ убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right];$$ $$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ x_{\max}=\pi n.$$

б) возрастает на $$\left[\pi+4\pi n;\,3\pi+4\pi n\right],$$ убывает на $$\left[-\pi+4\pi n;\,\pi+4\pi n\right];$$ $$x_{\min}=\pi+4\pi n,\ x_{\max}=3\pi+4\pi n.$$

в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{6}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right];$$ $$x_{\min}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

г) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет.