Упр.231 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна $$480\ \text{р.}$$ в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости $$10\ \text{км/ч}$$ эта часть расходов равна $$30\ \text{р.}$$ в час. При какой скорости общая сумма расходов на $$1\ \text{км}$$ пути будет наименьшей?

Пусть $$v$$ км/ч — скорость парохода.

Вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, значит

$$f(v)=kv^3.$$

При $$v=10$$ км/ч эта часть равна $$30$$ р./ч, поэтому

$$1000k=30,\qquad k=0{,}03.$$

Тогда общие расходы на 1 км пути равны

$$S(v)=\frac{480+0{,}03v^3}{v}=0{,}03v^2+\frac{480}{v}, \qquad v>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(v)=0{,}06v-\frac{480}{v^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$0{,}06v-\frac{480}{v^2}=0,$$

$$0{,}06v^3=480,$$

$$v^3=8000,$$

$$v=20.$$

Следовательно, наименьшая сумма расходов на 1 км пути будет при скорости $$20$$ км/ч.

Ответ: $$20$$ км/ч.