Упр.230 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки максимума и минимума функций:
   а) $$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+4x^2-7x+18$$;
   б) $$f(x)=\frac{2x^2}{3-x}$$;
   в) $$f(x)=\frac{x(x^3-4)}{2}$$;
   г) $$f(x)=\frac{x}{4-x}$$.

а) $$f(x)=-\frac13x^3+4x^2-7x+18$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-x^2+8x-7.$$

Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$-x^2+8x-7\ge 0$$

$$x^2-8x+7\le 0$$

$$D=64-28=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2},\quad x_1=1,\; x_2=7.$$

Тогда

$$f'(x)\ge 0 \text{ при } 1\le x\le 7.$$

Значит, функция возрастает на $$[1;7]$$, а убывает на $$(-\infty;1]\cup[7;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ — минимум, в точке $$x=7$$ — максимум.

б) $$f(x)=\frac{2x^2}{3-x}$$

Область определения: $$x\ne 3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{4x(3-x)+2x^2}{(3-x)^2}=\frac{12x-2x^2}{(3-x)^2}=\frac{2x(6-x)}{(3-x)^2}.$$

Так как знаменатель положителен при $$x\ne 3,$$ знак производной определяется числителем:

$$2x(6-x)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[0;6].$$

С учётом разрыва при $$x=3$$ получаем:

функция возрастает на $$[0;3)\cup(3;6]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[6;+\infty).$$

В точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=6$$ — максимум.

в) $$f(x)=\frac{x(x^3-4)}{2}$$

Преобразуем:

$$f(x)=\frac{x^4-4x}{2}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{4x^3-4}{2}=2x^3-2=2(x^3-1).$$

Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$x^3-1\ge 0,$$

$$x\ge 1.$$

Следовательно, функция возрастает на $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;1].$$

В точке $$x=1$$ — минимум.

г) $$f(x)=\frac{x}{4-x}$$

Область определения: $$x\ne 4.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(4-x)-x(-1)}{(4-x)^2}=\frac{4}{(4-x)^2}.$$

Так как $$\frac{4}{(4-x)^2}>0$$ при всех $$x\ne 4,$$ функция возрастает на каждом промежутке области определения:

$$(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$

Точек максимума и минимума нет.

Ответ

а) возрастает на $$[1;7]$$, убывает на $$(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$; $$x_{\min}=1,$$ $$x_{\max}=7.$$

б) возрастает на $$[0;3)\cup(3;6]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[6;+\infty)$$; $$x_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=6.$$

в) возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$; $$x_{\min}=1.$$

г) возрастает на $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$; точек максимума и минимума нет.