Упр.230 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные по правилу цепочки.

1. $$f(x)=(x^3-2x^2+3)^{17}$$

   Пусть $$u=x^3-2x^2+3$$, тогда $$f(x)=u^{17}$$. Получаем

   $$f'(x)=17u^{16}\cdot u’ = 17(x^3-2x^2+3)^{16}(3x^2-4x).$$

2. $$f(x)=\sqrt{1-x^4}+\frac{1}{x^2+3}$$

   Тогда

   $$f'(x)=\frac{1}{2}(1-x^4)^{-\frac12}\cdot(-4x^3)-\frac{2x}{(x^2+3)^2}.$$

   Следовательно,

   $$f'(x)=-\frac{2x^3}{\sqrt{1-x^4}}-\frac{2x}{(x^2+3)^2}.$$

3. $$f(x)=\sqrt{4x^2+5}$$

   Имеем

   $$f'(x)=\frac{1}{2}(4x^2+5)^{-\frac12}\cdot 8x=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}}.$$

4. $$f(x)=(3-x^3)^5+\sqrt{2x-7}$$

   Тогда

   $$f'(x)=5(3-x^3)^4\cdot(-3x^2)+\frac{1}{2}(2x-7)^{-\frac12}\cdot 2.$$

   Получаем

   $$f'(x)=-15x^2(3-x^3)^4+\frac{1}{\sqrt{2x-7}}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=17(x^3-2x^2+3)^{16}(3x^2-4x),\\ &\text{б) } f'(x)=-\frac{2x^3}{\sqrt{1-x^4}}-\frac{2x}{(x^2+3)^2},\\ &\text{в) } f'(x)=\frac{4x}{\sqrt{4x^2+5}},\\ &\text{г) } f'(x)=-15x^2(3-x^3)^4+\frac{1}{\sqrt{2x-7}}. \end{aligned}$$