Упр.230 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. На странице текст должен занимать $$384\ \text{см}^2$$. Верхнее и нижнее поля должны быть по $$3\ \text{см}$$, правое и левое — по $$2\ \text{см}$$. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Пусть $$x$$ и $$y$$ — размеры страницы в сантиметрах. Тогда размеры текстовой части равны $$x-4$$ и $$y-6$$, поэтому

$$(x-4)(y-6)=384.$$

Отсюда

$$y=\frac{384}{x-4}+6.$$

Площадь всей страницы:

$$S(x)=xy=x\left(\frac{384}{x-4}+6\right)=\frac{384x}{x-4}+6x.$$

Приведём к удобному виду:

$$S(x)=\frac{384x+6x(x-4)}{x-4}=\frac{6x^2+360x}{x-4}.$$

Найдём минимум функции. Производная:

$$S'(x)=\frac{(12x+360)(x-4)-(6x^2+360x)}{(x-4)^2}.$$

Для экстремума достаточно решить уравнение числителя:

$$(12x+360)(x-4)-(6x^2+360x)=0,$$

$$12x^2-48x+360x-1440-6x^2-360x=0,$$

$$6x^2-48x-1440=0,$$

$$x^2-8x-240=0.$$

$$D=8^2+4\cdot240=64+960=1024,$$

$$x=\frac{8\pm32}{2}.$$

Получаем $$x_1=-12$$ и $$x_2=20$$. Так как $$x>4$$, подходит только $$x=20$$.

Тогда

$$y=\frac{384}{20-4}+6=\frac{384}{16}+6=24+6=30.$$

Следовательно, наиболее выгодные размеры страницы:

$$20\text{ см} \times 30\text{ см}$$

Ответ

$$20\text{ см} \times 30\text{ см}$$