Упр.23 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражения: а) $$\sqrt{2-\sqrt{3}}$$; б) $$\sqrt{129-56\sqrt{5}}$$; в) $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$$; г) $$\sqrt{57+12\sqrt{15}}$$.

а) $$\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{\frac32-2\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\cdot\frac1{\sqrt2}+\frac12}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}\right)^2}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}.$$

б) $$\sqrt{129-56\sqrt5}=\sqrt{80-2\cdot4\sqrt5\cdot7+49}=\sqrt{(4\sqrt5-7)^2}=4\sqrt5-7.$$

в) $$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5+2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt2+2}=\sqrt{(\sqrt5+\sqrt2)^2}=\sqrt5+\sqrt2.$$

г) $$\sqrt{57+12\sqrt{15}}=\sqrt{12+12\sqrt{15}+45}=\sqrt{(2\sqrt3+3\sqrt5)^2}=2\sqrt3+3\sqrt5.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$$; б) $$4\sqrt5-7$$; в) $$\sqrt5+\sqrt2$$; г) $$2\sqrt3+3\sqrt5$$.