Упр.23 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}=\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha \sqrt{1+\tg^{-2}\alpha}}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin \alpha \sqrt{1+\tg^2 \alpha}=\sin \alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}=\sin \alpha \cdot \frac{1}{\cos \alpha}=\tg \alpha.$$

Так как $$1+\tg^{-2}\alpha=\frac{1+\tg^2\alpha}{\tg^2\alpha},$$ то правая часть также равна $$\tg \alpha.$$ Следовательно, равенство верно.

б) $$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=2\ctg \alpha.$$

Используем формулу половинного угла:

$$\tg^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}, \qquad \ctg^2 \frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{4}$$ и, значит, $$\tg \frac{\alpha}{2}>0.$$ Тогда

$$\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}=\ctg \frac{\alpha}{2}-\tg \frac{\alpha}{2}.$$

По формуле

$$\ctg \frac{\alpha}{2}-\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{\tg \frac{\alpha}{2}}=\frac{2\ctg \alpha}{1}=2\ctg \alpha,$$

что и требовалось доказать.

в) $$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}{\sin \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Обе части равны $$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha},$$ значит, равенство верно.

г) $$\sqrt{\sin^2 \alpha+\tg^2 \alpha \sin^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{\sin^2 \alpha+\tg^2 \alpha \sin^2 \alpha}=\sqrt{\sin^2 \alpha(1+\tg^2 \alpha)}=\sqrt{\sin^2 \alpha\left(1+\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right)}$$

$$=\sqrt{\sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=\sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}=|\tg \alpha|.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha+\ctg^2 \alpha \cos^2 \alpha}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha(1+\ctg^2 \alpha)}}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha\left(1+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right)}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}}=\frac{1}{|\ctg \alpha|}=|\tg \alpha|.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то $$\tg \alpha>0,$$ следовательно, $$|\tg \alpha|=\tg \alpha.$$ Равенство доказано.