Упр.229 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближённое значение выражения: а) $$\sqrt{9{,}009}$$; б) $$1{,}0001^{15}$$; в) $$0{,}999^{-5}$$; г) $$8{,}008^{\frac{1}{3}}$$.

Используем формулу приближённого вычисления по приращению:

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x.$$

1. $$\sqrt{9{,}009}$$

   Пусть $$f(x)=\sqrt{x}$$, тогда $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   $$f(9{,}009)\approx f(9)+f'(9)\cdot 0{,}009=3+\frac{0{,}009}{2\cdot 3}.$$

   $$f(9{,}009)\approx 3+\frac{0{,}009}{6}=3+0{,}0015=3{,}0015.$$

2. $$1{,}0001^{15}$$

   Пусть $$f(x)=x^{15}$$, тогда $$f'(x)=15x^{14}.$$

   $$f(1{,}0001)\approx f(1)+f'(1)\cdot 0{,}0001=1+15\cdot 0{,}0001=1{,}0015.$$

3. $$0{,}999^{-5}$$

   Пусть $$f(x)=x^{-5}$$, тогда $$f'(x)=-5x^{-6}.$$

   $$f(0{,}999)\approx f(1)+f'(1)\cdot(-0{,}001)=1+5\cdot 0{,}001=1{,}005.$$

4. $$\sqrt[3]{8{,}008}$$

   Пусть $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

   $$f(8{,}008)\approx f(8)+f'(8)\cdot 0{,}008=2+\frac{0{,}008}{3\cdot 4}.$$

   $$f(8{,}008)\approx 2+\frac{0{,}008}{12}\approx 2+0{,}0007=2{,}0007.$$

Ответ: а) $$3{,}0015$$; б) $$1{,}0015$$; в) $$1{,}005$$; г) $$2{,}0007$$.