Упр.228 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближенное значение функции в точках $$x_1$$ и $$x_2$$:
   а) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x,\quad x_1=2{,}0057,\quad x_2=1{,}979$$;
   б) $$f(x)=2+4x-x^2+\frac{1}{4}x^4,\quad x_1=3{,}005,\quad x_2=1{,}98$$.

а) $$f(x)=\frac13x^3-x,\quad x_1=2{,}0057,\quad x_2=1{,}979.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=x^2-1.$$

При $$x=2$$ имеем:

$$f(2)=\frac13\cdot 2^3-2=\frac23,\qquad f'(2)=2^2-1=3.$$

Тогда приращения:

$$\Delta x_1=2{,}0057-2=0{,}0057,\qquad \Delta x_2=1{,}979-2=-0{,}021.$$

Используем линейное приближение:

$$f(x_1)\approx f(2)+f'(2)\Delta x_1=\frac23+3\cdot 0{,}0057\approx 0{,}684,$$

$$f(x_2)\approx f(2)+f'(2)\Delta x_2=\frac23-3\cdot 0{,}021\approx 0{,}604.$$

б) $$f(x)=2+4x-x^2+\frac14x^4,\quad x_1=3{,}005,\quad x_2=1{,}98.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4-2x+x^3.$$

При $$x=3$$:

$$f(3)=2+4\cdot 3-3^2+\frac14\cdot 3^4=\frac{101}{4},\qquad f'(3)=4-2\cdot 3+3^3=25.$$

При $$x=2$$:

$$f(2)=2+4\cdot 2-2^2+\frac14\cdot 2^4=10,\qquad f'(2)=4-2\cdot 2+2^3=8.$$

Тогда:

$$\Delta x_1=3{,}005-3=0{,}005,\qquad \Delta x_2=1{,}98-2=-0{,}02.$$

Следовательно,

$$f(x_1)\approx f(3)+f'(3)\Delta x_1=\frac{101}{4}+25\cdot 0{,}005=25{,}375,$$

$$f(x_2)\approx f(2)+f'(2)\Delta x_2=10+8\cdot(-0{,}02)=9{,}84.$$

Ответ

а) $$f(2{,}0057)\approx 0{,}684,\quad f(1{,}979)\approx 0{,}604.$$
б) $$f(3{,}005)\approx 25{,}375,\quad f(1{,}98)\approx 9{,}84.$$