Упр.228 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: а) $$f(x)=4x^3-x|x-2|$$ на $$[0;3]$$; б) $$f(x)=\max\left(R,\frac{10}{x^2+4?x+41}+\cos(x)\right)$$.
а) Рассмотрим функцию $$f(x)=4x^3-x|x-2|$$ на отрезке $$[0;3].$$
Разобьём отрезок на два промежутка:
при $$x\ge 2$$ имеем $$|x-2|=x-2,$$ поэтому
$$f_1(x)=4x^3-x(x-2)=4x^3-x^2+2x;$$
при $$x\le 2$$ имеем $$|x-2|=2-x,$$ поэтому
$$f_2(x)=4x^3-x(2-x)=4x^3+x^2-2x.$$
Найдём производные:
$$f_1′(x)=12x^2-2x+2,$$
$$f_2′(x)=12x^2+2x-2.$$
Для $$f_1′(x)$$ дискриминант равен
$$D=(-2)^2-4\cdot 12\cdot 2=4-96=-92<0,$$
значит, $$f_1′(x)>0$$ при всех $$x$$, и функция $$f_1(x)$$ возрастает на $$[2;3].$$
Для $$f_2′(x)$$ решим неравенство:
$$12x^2+2x-2\ge 0,$$
$$6x^2+x-1\ge 0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12},\quad x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac13.$$
На отрезке $$[0;2]$$ производная меняет знак в точке $$x=\frac13,$$ поэтому проверим значения функции в концах промежутков и в точке $$x=\frac13.$$
$$f(0)=0,$$
$$f\!\left(\frac13\right)=4\cdot \frac{1}{27}-\frac13\left|\,\frac13-2\,\right|=\frac{4}{27}-\frac13\cdot \frac53=\frac{4}{27}-\frac{5}{9}=-\frac{11}{27},$$
$$f(3)=4\cdot 27-3\cdot |3-2|=108-3=105.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac{11}{27},$$ а наибольшее — $$105.$$
б) Пусть
$$f(x)=\frac{10}{x^2+4\pi x+41}+\cos x.$$
Рассмотрим знаменатель:
$$x^2+4\pi x+41=(x+2\pi)^2+41-4\pi^2.$$
Так как $$\cos x\le 1,$$ а
$$x^2+4\pi x+41\ge 41-4\pi^2,$$
то
$$\frac{10}{x^2+4\pi x+41}\le \frac{10}{41-4\pi^2}.$$
Значит,
$$f(x)\le \frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$
Равенство достигается при $$x=-2\pi,$$ так как тогда
$$x^2+4\pi x+41=41-4\pi^2,$$
и одновременно $$\cos(-2\pi)=1.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно
$$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$
Ответ
а) $$-\frac{11}{27};\ 105.$$
б) $$\frac{10}{41-4\pi^2}+1.$$
