Упр.227 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Пусть $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$ — дробно-рациональная функция ($$n$$ — степень $$P(x)$$, $$m$$ — степень $$Q(x)$$). Докажите, что: а) $$R(x)$$ каждое своё значение принимает не более чем при $$k=\max(m,n)$$ значениях $$x$$; б) $$R(x)$$ имеет не более чем $$m+n-1$$ точек экстремума, если $$m\ne n$$, и не более чем $$m+n-2$$ точек экстремума, если $$m=n$$.

Подробный ответ

Пусть $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$ где $$\deg P(x)=n,$$ $$\deg Q(x)=m.$$

Ход решения

а) Пусть значение функции равно константе $$C$$. Тогда

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=C \;\Longleftrightarrow\; P(x)-C\cdot Q(x)=0.$$

Получили уравнение для $$x$$, левая часть которого — многочлен степени не выше $$\max(m,n)$$. Значит, оно может иметь не более чем $$\max(m,n)$$ корней.

Следовательно, каждое своё значение функция $$R(x)$$ принимает не более чем при $$\max(m,n)$$ значениях $$x$$.

б) Точки экстремума возможны только в тех точках, где

$$R'(x)=0.$$

Найдём производную:

$$R'(x)=\frac{P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)}{Q^2(x)}.$$

Тогда точки, в которых $$R'(x)=0,$$ удовлетворяют уравнению

$$P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)=0.$$

Обозначим

$$M(x)=P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x).$$

Степень многочлена $$M(x)$$ не превосходит $$m+n-1$$, а если $$m=n,$$ то старшие члены сокращаются, и степень $$M(x)$$ не превосходит $$m+n-2$$.

Значит, уравнение $$M(x)=0$$ имеет не более чем: