Упр.226 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что каждое свое значение многочлен степени $$n$$ принимает не более чем $$n$$ раз.

Пусть многочлен $$P(x)$$ степени $$n$$ принимает значение $$A$$ ровно $$p$$ раз, причём $$p>n$$. Тогда у многочлена $$P(x)-A$$ есть $$p$$ корней.

Но $$P(x)-A$$ — многочлен степени $$n$$, а многочлен степени $$n$$ не может иметь более $$n$$ корней. Получаем противоречие.

Следовательно, каждое своё значение многочлен степени $$n$$ может принимать не более чем $$n$$ раз.

Ответ

Каждое значение многочлен степени $$n$$ принимает не более $$n$$ раз.