Упр.225 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен степени $$n$$ имеет не более чем $$n$$ корней и не более чем $$n-1$$ точек экстремума.

Если число $$a$$ является корнем многочлена $$P(x)$$ степени $$n$$, то $$P(a)=0$$ и

$$P(x)=(x-a)Q(x),$$

где $$Q(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$. Значит, каждый корень многочлена можно выделить в виде линейного множителя. Так как многочлен степени $$n$$ может быть разложен не более чем на $$n$$ линейных множителей, то он имеет не более $$n$$ действительных корней.

Теперь рассмотрим производную $$P'(x)$$. Если $$P(x)$$ — многочлен степени $$n$$, то $$P'(x)$$ — многочлен степени $$n-1$$. Следовательно, у него не может быть более $$n-1$$ действительных корней.

В точках экстремума производная обращается в нуль, то есть каждая точка экстремума является корнем уравнения $$P'(x)=0$$. Поэтому число точек экстремума многочлена не превосходит числа корней его производной, а значит, не больше $$n-1$$.

Таким образом, многочлен степени $$n$$ имеет не более $$n$$ корней и не более $$n-1$$ точек экстремума.