Упр.224 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что любое кубическое уравнение $$x^3+ax^2+bx+c=0$$ имеет хотя бы один действительный корень.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Она непрерывна на всей числовой прямой. При этом

$$\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.$$

Действительно, старший член $$x^3$$ при больших по модулю значениях $$x$$ определяет поведение функции.

Так как функция $$f(x)$$ непрерывна и принимает значения разных знаков при $$x\to -\infty$$ и $$x\to +\infty$$, то по теореме о промежуточных значениях она обращается в нуль хотя бы в одной точке. Значит, уравнение

$$x^3+ax^2+bx+c=0$$

имеет хотя бы один действительный корень.

Ответ

Любое кубическое уравнение $$x^3+ax^2+bx+c=0$$ имеет хотя бы один действительный корень.