Упр.223 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение $$f'(x)=0$$, если:
а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$;
б) $$f(x)=1{,}5\sin(2x)-5\sin(x)-x$$;
в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$;
г) $$f(x)=x+\cos(2x)$$.
а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
$$4x(x-1)(x+1)=0$$
$$x=-1,\;0,\;1$$
б) $$f(x)=1{,}5\sin 2x-5\sin x-x$$
$$f'(x)=3\cos 2x-5\cos x-1=0$$
$$3(2\cos^2 x-1)-5\cos x-1=0$$
$$6\cos^2 x-5\cos x-4=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$6y^2-5y-4=0$$
$$D=25+96=121$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 11}{12}$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac43$$
Так как $$\cos x\le 1$$, значение $$\frac43$$ не подходит. Поэтому
$$\cos x=-\frac12$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$
$$f'(x)=-x^4+10x^2-9=0$$
$$x^4-10x^2+9=0$$
Пусть $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2-10y+9=0$$
$$D=100-36=64$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$
$$y_1=1,\qquad y_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$
г) $$f(x)=x+\cos 2x$$
$$f'(x)=1-2\sin 2x=0$$
$$\sin 2x=\frac12$$
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=-1,\;0,\;1$$; б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$; в) $$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$.
