Упр.223 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$2+\sin(x)>\frac{1}{1+x^2}$$; б) $$2-\cos(x)>\frac{1}{1+x^2}$$.

а) Рассмотрим функции $$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$ и $$g(x)=2+\sin x.$$

Для функции $$f(x)$$ имеем

$$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}.$$

При $$x\le 0$$ производная неотрицательна, значит, на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а при $$x\ge 0$$ убывает. Следовательно, наибольшее значение $$f(x)$$ равно

$$f(0)=\frac{1}{1+0^2}=1,$$

то есть

$$\frac{1}{1+x^2}\le 1.$$

С другой стороны, так как $$\sin x\ge -1,$$ то

$$2+\sin x\ge 1.$$

Значит, для всех $$x$$

$$2+\sin x\ge 1\ge \frac{1}{1+x^2},$$

и неравенство выполняется при любых $$x\in\mathbb{R}$$.

б) Аналогично, рассмотрим функции $$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$$ и $$g(x)=2-\cos x.$$

Для функции $$f(x)$$ снова получаем

$$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2},$$

поэтому $$f(x)\le 1$$ при всех $$x$$.

Так как $$\cos x\le 1,$$ то

$$2-\cos x\ge 1.$$

Следовательно,

$$2-\cos x\ge 1\ge \frac{1}{1+x^2},$$

то есть неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме тех, где левая и правая части равны. Равенство возможно только при $$\cos x=1$$ и $$x=0$$ одновременно, то есть при $$x=0$$.

Поскольку требуется строгое неравенство, получаем

$$x\ne 0.$$

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$