Упр.222 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень: а) $$\cos(x)=?/2-x$$; б) $$\sin(x)=-x-?$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. $$\cos x=\frac{\pi}{2}-x$$

   Перенесём всё в одну часть и введём функцию

   $$f(x)=\cos x+x-\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-\sin x+1\ge 0,$$

   значит, функция $$f(x)$$ не убывает на всей числовой прямой.

   Проверим значение при $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0.$$

   Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

   $$x=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\sin x=-x-\pi$$

   Перенесём всё в одну часть и введём функцию

   $$f(x)=x+\sin x+\pi.$$

   Тогда

   $$f'(x)=1+\cos x\ge 0,$$

   значит, функция $$f(x)$$ не убывает на всей числовой прямой.

   Проверим значение при $$x=-\pi$$:

   $$f(-\pi)=-\pi+\sin(-\pi)+\pi=0.$$

   Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

   $$x=-\pi.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x=-\pi$$.