Упр.221 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите производные функций: а) $$f(x)=2^x+\lg(x)$$; б) $$f(x)=e^{-3x}+2\log_3(2x)$$; в) $$f(x)=x^2\cdot5^{2x}$$; г) $$f(x)=\frac{\ln(x)}{e^x+e^{-x}}$$.
Найдём производные по правилам дифференцирования.
а)
$$f(x)=2^x+\lg x$$
$$f'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 10}$$
б)
$$f(x)=e^{-3x}+2\log_3(2x)$$
$$f'(x)=-3e^{-3x}+2\cdot \frac{(2x)’}{2x\ln 3}$$
$$f'(x)=-3e^{-3x}+\frac{2}{x\ln 3}$$
в)
$$f(x)=x^2\cdot 5^{2x}$$
По правилу произведения:
$$f'(x)=(x^2)’\cdot 5^{2x}+x^2\cdot (5^{2x})’$$
$$f'(x)=2x\cdot 5^{2x}+x^2\cdot 5^{2x}\cdot 2\ln 5$$
$$f'(x)=2x\cdot 5^{2x}\,(1+x\ln 5)$$
г)
$$f(x)=\frac{\ln x}{e^x+e^{-x}}$$
По правилу производной частного:
$$f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(e^x+e^{-x})-\ln x\,(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}$$
Приведём к общему виду:
$$f'(x)=\frac{e^x+e^{-x}-x\ln x\,(e^x-e^{-x})}{x\,(e^x+e^{-x})^2}$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } f'(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 10};\\ &\text{б) } f'(x)=-3e^{-3x}+\frac{2}{x\ln 3};\\ &\text{в) } f'(x)=2x\cdot 5^{2x}(1+x\ln 5);\\ &\text{г) } f'(x)=\frac{\frac{1}{x}(e^x+e^{-x})-\ln x\,(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}. \end{aligned}$$
