Упр.221 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения $$a$$, при которых функция $$f$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$: а) $$f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+5$$; б) $$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5$$.

а) Для того чтобы функция возрастала на $$\mathbb{R}$$, необходимо, чтобы её производная была неотрицательна при всех $$x$$:

$$f(x)=\frac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+5,$$

$$f'(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2.$$

Это квадратный трёхчлен, который должен быть $$\ge 0$$ при всех $$x$$. Значит, его дискриминант не должен быть положительным:

$$D=[2(a-1)]^2-4(a^2-1)\cdot 2\le 0.$$

$$4(a-1)^2-8(a^2-1)\le 0,$$

$$4a^2-8a+4-8a^2+8\le 0,$$

$$a^2+2a-3\ge 0,$$

$$(a+3)(a-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le -3 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

Проверим старший коэффициент производной: $$a^2-1\ge 0$$ при $$a\le -1$$ или $$a\ge 1$$. Это условие уже выполнено для найденных значений.

Следовательно,

а) $$a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty).$$

б) Найдём производную:

$$f(x)=2x^3-3(a+2)x^2+48ax+6x-5,$$

$$f'(x)=6x^2-6(a+2)x+48a+6.$$

Чтобы функция возрастала на $$\mathbb{R}$$, нужно, чтобы

$$6x^2-6(a+2)x+48a+6\ge 0$$

при всех $$x$$. Для этого дискриминант должен быть неположительным:

$$D=[-6(a+2)]^2-4\cdot 6\cdot (48a+6)\le 0.$$

$$36(a+2)^2-24(48a+6)\le 0,$$

$$36a^2+144a+144-1152a-144\le 0,$$

$$36a^2-1008a\le 0,$$

$$36a(a-28)\le 0.$$

Отсюда

$$0\le a\le 28.$$

б) $$a\in[0,28].$$

Ответ: а) $$(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$$; б) $$[0,28]$$.