Упр.220 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите производные функций: а) $$f(x)=\frac{3}{x^3}-x^{\frac{1}{5}}+\frac{5}{x^{\frac{1}{3}}}$$; б) $$f(x)=(2-\sqrt{x})\tg(x)$$; в) $$f(x)=\frac{x^3-3x}{1-2x}$$; г) $$f(x)=\frac{\sin(x)}{1-2\cos(x)}$$.

Найдём производные по правилам дифференцирования.

Ход решения

1. $$f(x)=\frac{3}{x^3}-x^{\frac15}+\frac{5}{x^{\frac13}}.$$

   Перепишем в виде степеней:

   $$f(x)=3x^{-3}-x^{\frac15}+5x^{-\frac13}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=-9x^{-4}-\frac15x^{-\frac45}-\frac53x^{-\frac43}.$$

   Или

   $$f'(x)=-\frac{9}{x^4}-\frac{1}{5x^{\frac45}}-\frac{5}{3x^{\frac43}}.$$

2. $$f(x)=(2-\sqrt{x})\tg x.$$

   По правилу произведения:

   $$f'(x)=\left(2-\sqrt{x}\right)’\tg x+\left(2-\sqrt{x}\right)(\tg x)’.$$

   Так как

   $$\left(2-\sqrt{x}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad (\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$

   то

   $$f'(x)=-\frac{\tg x}{2\sqrt{x}}+\frac{2-\sqrt{x}}{\cos^2 x}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$f'(x)=\frac{4\sqrt{x}-2x-\sin x\cos x}{2\sqrt{x}\cos^2 x}.$$

3. $$f(x)=\frac{x^3-3x}{1-2x}.$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(3x^2-3)(1-2x)-(x^3-3x)(-2)}{(1-2x)^2}.$$

   Упростим числитель:

   $$f'(x)=\frac{(3x^2-3)(1-2x)+2(x^3-3x)}{(1-2x)^2}$$

   $$=\frac{3x^2-6x^3-3+6x+2x^3-6x}{(1-2x)^2}$$

   $$=\frac{3x^2-4x^3-3}{(1-2x)^2}.$$

4. $$f(x)=\frac{\sin x}{1-2\cos x}.$$

   По формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{\cos x(1-2\cos x)-\sin x\cdot(2\sin x)}{(1-2\cos x)^2}.$$

   Упростим числитель:

   $$f'(x)=\frac{\cos x-2\cos^2 x-2\sin^2 x}{(1-2\cos x)^2}.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

   $$f'(x)=\frac{\cos x-2}{(1-2\cos x)^2}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} \text{а) }& f'(x)=-\frac{9}{x^4}-\frac{1}{5x^{\frac45}}-\frac{5}{3x^{\frac43}},\\ \text{б) }& f'(x)=\frac{4\sqrt{x}-2x-\sin x\cos x}{2\sqrt{x}\cos^2 x},\\ \text{в) }& f'(x)=\frac{3x^2-4x^3-3}{(1-2x)^2},\\ \text{г) }& f'(x)=\frac{\cos x-2}{(1-2\cos x)^2}. \end{aligned}$$