Упр.220 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстремумы: а) $$f(x)=-0{,}2x^5+0{,}5x^4-x^3-x^2-x$$; б) $$f(x)=0{,}8x^5-x^4+4x^3+2x^2+4x$$.
Найдём производные и исследуем их знак.
а)
$$f(x)=-0,2x^5+0,5x^4-x^3-x^2-x$$
$$f'(x)=-0,2\cdot 5x^4+0,5\cdot 4x^3-3x^2-2x-1$$
$$f'(x)=-x^4+2x^3-3x^2-2x-1$$
Преобразуем:
$$f'(x)=-(x^4-2x^3+3x^2+2x+1)$$
$$f'(x)=-\bigl((x^2-x)^2+x^2+(x+1)^2\bigr)$$
Так как $$(x^2-x)^2\ge 0,\quad x^2\ge 0,\quad (x+1)^2\ge 0,$$ то
$$f'(x)\le 0$$
и равенство возможно только при одновременном выполнении условий $$x^2-x=0,\ x=0,\ x+1=0,$$ что невозможно. Значит,
$$f'(x)<0 \text{ при всех } x\in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой и экстремумов не имеет.
б)
$$f(x)=0,8x^5-x^4+4x^3+2x^2+4x$$
$$f'(x)=0,8\cdot 5x^4-4x^3+4\cdot 3x^2+2\cdot 2x+4$$
$$f'(x)=4x^4-4x^3+12x^2+4x+4$$
Вынесем общий множитель:
$$f'(x)=4\bigl(x^4-x^3+3x^2+x+1\bigr)$$
Преобразуем выражение в скобках:
$$x^4-x^3+3x^2+x+1=(2x^2-x)^2+(x+2)^2+10x^2$$
Тогда
$$f'(x)=4\bigl((2x^2-x)^2+(x+2)^2+10x^2\bigr)\ge 0$$
Причём равенство невозможно, так как одновременно все слагаемые в скобках равны нулю быть не могут. Значит,
$$f'(x)>0 \text{ при всех } x\in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой и экстремумов не имеет.
Ответ
а) $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет.
б) $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет.
