Упр.22 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Сформулируйте определения арккосинуса и арктангенса числа. Для каких чисел они определены?
2. Найдите значение выражения:
   а) $$\arccos(-1)+\arctg(\sqrt{3})$$;
   б) $$\arccos\left(\frac{1}{2}\right)+\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$$;
   в) $$\operatorname{arcctg}(-1)-\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$;
   г) $$\arccos(0)+\arctg\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$.

Арккосинусом числа $$a$$ называется такое число из отрезка $$[0;\pi]$$, косинус которого равен $$a$$, при этом $$-1 \le a \le 1$$.

Арктангенсом числа $$a$$ называется такое число из интервала $$\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$$, тангенс которого равен $$a$$, при этом $$a \in \mathbb{R}$$.

Ход решения

1. $$\arccos(-1)+\arctg\sqrt{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$$

2. $$\arccos\dfrac{1}{2}+\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi+\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$$

3. $$\operatorname{arcctg}(-1)-\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{9\pi-2\pi}{12}=\dfrac{7\pi}{12}$$

4. $$\arccos 0+\arctg\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}$$

Ответ

1) $$\arccos a \in [0;\pi]$$, $$\arctg a \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$$; $$\arccos a$$ определён при $$-1 \le a \le 1$$, $$\arctg a$$ — при всех $$a \in \mathbb{R}$$.

2) а) $$\dfrac{4\pi}{3}$$; б) $$\dfrac{\pi}{2}$$; в) $$\dfrac{7\pi}{12}$$; г) $$\dfrac{2\pi}{3}$$.