Упр.22 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Докажите иррациональность чисел:
- $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$, где $$k$$ и $$p$$ — целые числа, отличные от нуля;
- $$3,272772777277772\ldots$$ (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после $$n$$-й двойки — $$n$$ семерок и т. д.).
а) Предположим, что число $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ рационально. Тогда существует рациональное число $$r$$ такое, что
$$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}=r.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$r^2=(k\sqrt{2}+p\sqrt{3})^2=2k^2+2kp\sqrt{6}+3p^2.$$
Тогда
$$2kp\sqrt{6}=r^2-2k^2-3p^2,$$
откуда
$$\sqrt{6}=\frac{r^2-2k^2-3p^2}{2kp}.$$
Правая часть рациональна, значит, $$\sqrt{6}$$ рационально. Это невозможно, следовательно, число $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ иррационально.
б) Рассмотрим число $$3,272772777277772\ldots$$
Предположим, что оно рационально. Тогда его десятичная запись периодична, то есть начиная с некоторого места повторяется один и тот же период.
Но в записи данного числа после первой двойки стоит одна семёрка, после второй — две семёрки, после третьей — три семёрки и так далее. Поэтому длина блока из семёрок неограниченно возрастает, и никакого постоянного периода быть не может.
Следовательно, десятичная запись не периодична, значит, число иррационально.
Ответ
а) $$k\sqrt{2}+p\sqrt{3}$$ — иррационально; б) $$3,272772777277772\ldots$$ — иррационально.
