Упр.22 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1+\tg \alpha}{1+\ctg \alpha}=\frac{1+\tg \alpha}{1+\frac{1}{\tg \alpha}}=\tg \alpha.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\alpha$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin \alpha<0,$$ $$\cos \alpha>0.$$

Из условия $$\cos \alpha=\frac{12}{13},$$ поэтому

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}.$$

б) $$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

$$\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=\frac{\tg \alpha+1}{\tg \alpha-1}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\frac{5}{4}:$$

$$\frac{\frac{5}{4}+1}{\frac{5}{4}-1}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{1}{4}}=9.$$

в) $$\frac{\cos \alpha+\ctg \alpha}{\ctg \alpha}.$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{\cos \alpha+\ctg \alpha}{\ctg \alpha}=\frac{\cos \alpha+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}=1+\sin \alpha.$$

Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\alpha$$ лежит в III четверти, значит $$\sin \alpha<0.$$

Из условия $$\cos \alpha=-\frac{1}{3},$$ поэтому

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Тогда

$$1+\sin \alpha=1-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}.$$

г) $$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta.$$

Используем тождества $$\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha$$ и $$\cos^2 \beta=1-\sin^2 \beta$$:

$$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=(1-\cos^2 \alpha)-(1-\sin^2 \beta)=\sin^2 \beta-\cos^2 \alpha.$$

Следовательно,

$$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=-(\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta).$$

По условию $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \beta=0{,}5,$$ значит

$$\sin^2 \alpha-\cos^2 \beta=-0{,}5.$$

Ответ

а) $$-\frac{5}{12}$$; б) $$9$$; в) $$\frac{3-2\sqrt{2}}{3}$$; г) $$-0{,}5$$.