Упр.219 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите производные функций:
   а) $$f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2-x+5$$;
   б) $$f(x)=(4-x^2)\sin x$$;
   в) $$f(x)=(x^2+5)(x^3-2x+2)$$;
   г) $$f(x)=\frac{\cos x}{2-x^3}$$.

а) $$f(x)=\frac14x^4-\frac13x^3+\frac12x^2-x+5$$

Тогда

$$f'(x)=\frac14\cdot4x^3-\frac13\cdot3x^2+\frac12\cdot2x-1=x^3-x^2+x-1.$$

б) $$f(x)=(4-x^2)\sin x$$

По правилу произведения:

$$f'(x)=(-2x)\sin x+(4-x^2)\cos x=4\cos x-x^2\cos x-2x\sin x.$$

в) $$f(x)=(x^2+5)(x^3-2x+2)$$

Тогда

$$f'(x)=2x(x^3-2x+2)+(x^2+5)(3x^2-2).$$

Раскроем скобки:

$$f'(x)=2x^4-4x^2+4x+3x^4+13x^2-10=5x^4+9x^2+4x-10.$$

г) $$f(x)=\frac{\cos x}{2-x^3}$$

По правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{-\sin x\,(2-x^3)-\cos x\,(-3x^2)}{(2-x^3)^2}.$$

Упростим:

$$f'(x)=\frac{x^3\sin x-2\sin x+3x^2\cos x}{(2-x^3)^2}.$$

Ответ

а) $$f'(x)=x^3-x^2+x-1$$;

б) $$f'(x)=4\cos x-x^2\cos x-2x\sin x$$;

в) $$f'(x)=5x^4+9x^2+4x-10$$;

г) $$f'(x)=\frac{x^3\sin x-2\sin x+3x^2\cos x}{(2-x^3)^2}$$.