Упр.219 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Утверждение неверно. Возьмём, например,

$$f_1(x)=\frac{1}{x}, \qquad f_2(x)=-\frac{1}{x}.$$

Тогда

$$f_1′(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad f_2′(x)=\frac{1}{x^2},$$

и в точке $$x_0=0$$ ни одна из этих функций не имеет производной. Но

$$\varphi(x)=f_1(x)+f_2(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0,$$

а постоянная функция имеет производную в любой точке.

б) Утверждение неверно. Если бы $$\varphi(x)=f_1(x)+f_2(x)$$ имела производную в точке $$x_0$$, а $$f_1(x)$$ в этой точке тоже имела производную, то

$$f_2′(x_0)=\varphi'(x_0)-f_1′(x_0),$$

то есть $$f_2(x)$$ тоже имела бы производную в точке $$x_0$$. Это противоречит условию. Значит, из существования производной у $$f_1(x)$$ и отсутствия её у $$f_2(x)$$ не следует, что $$\varphi(x)$$ не имеет производной.

Ответ: в обоих случаях утверждение неверно.