Упр.219 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстремумы:

1. а) $$f(x)=x^2(vx-1)$$; б) $$f(x)=x^2v(1-2x)$$; в) $$f(x)=6\sin(x)-\cos(2x)$$; г) $$f(x)=2\sin(x)+3\cos(x)$$.

а) $$f(x)=x^2(\sqrt{x}-1).$$

$$f'(x)=2x(\sqrt{x}-1)+x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

$$f'(x)=2x\sqrt{x}-2x+\frac12 x\sqrt{x}=\frac52 x\sqrt{x}-2x.$$

$$f'(x)\ge 0 \iff x\left(\frac52\sqrt{x}-2\right)\ge 0.$$

Так как $$x\ge 0,$$ то

$$\frac52\sqrt{x}-2\ge 0 \iff \sqrt{x}\ge \frac45 \iff x\ge \frac{16}{25}.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left[0;\frac{16}{25}\right],$$ возрастает на $$\left[\frac{16}{25};+\infty\right).$$

Минимум достигается при $$x=\frac{16}{25}.$$

б) $$f(x)=x^2\sqrt{1-2x}.$$

Область определения: $$1-2x\ge 0,$$ то есть $$x\le \frac12.$$

$$f'(x)=2x\sqrt{1-2x}+x^2\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}}.$$

$$f'(x)=2x\sqrt{1-2x}-\frac{x^2}{\sqrt{1-2x}}.$$

При $$1-2x>0$$ имеем

$$f'(x)\ge 0 \iff \frac{2x(1-2x)-x^2}{\sqrt{1-2x}}\ge 0 \iff 2x-4x^2-x^2\ge 0.$$

$$x(2-5x)\ge 0 \iff 0\le x\le \frac25.$$

Значит, функция возрастает на $$\left[0;\frac25\right],$$ убывает на $$(-\infty;0]\cup \left[\frac25;\frac12\right].$$

Минимум при $$x=0,$$ максимум при $$x=\frac25.$$

в) $$f(x)=6\sin x-\cos 2x.$$

$$f'(x)=6\cos x+2\sin 2x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$f'(x)=6\cos x+4\sin x\cos x=2\cos x(3+2\sin x).$$

Поскольку $$3+2\sin x>0$$ при всех $$x,$$ знак производной определяется знаком $$\cos x.$$

Следовательно, функция возрастает на

$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$

убывает на

$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Минимум при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ максимум при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

г) $$f(x)=2\sin x+3\cos x.$$

$$f'(x)=2\cos x-3\sin x.$$

Представим производную в виде одной косинусоиды:

$$f'(x)=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right).$$

Пусть $$\alpha=\arccos \frac{2}{\sqrt{13}},$$ тогда $$\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{13}}$$ и

$$f'(x)=\sqrt{13}\cos(x+\alpha).$$

Значит, $$f'(x)\ge 0 \iff \cos(x+\alpha)\ge 0.$$

Отсюда функция возрастает на

$$\left[-\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n;\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n\right],$$

убывает на

$$\left[\frac{\pi}{2}-\alpha+2\pi n;\frac{3\pi}{2}-\alpha+2\pi n\right], \quad n\in \mathbb{Z}.$$

То есть

$$\alpha=\arccos \frac{2}{\sqrt{13}},$$

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\qquad x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n.$$