Упр.218 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Пользуясь определением, найдите производную функции $$f$$ в точке $$x_0$$, если: а) $$f(x)=1-4x$$, $$x_0=3$$; б) $$f(x)=1{,}5x^2$$, $$x_0=2$$; в) $$f(x)=3x+2$$, $$x_0=5$$; г) $$f(x)=x^3+1$$, $$x_0=-1$$.

Найдём производные по определению.

1. $$f(x)=1-4x,\quad x_0=3$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(1-4(x+\Delta x))-(1-4x)}{\Delta x}$$

   $$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1-4x-4\Delta x-1+4x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-4\Delta x}{\Delta x}=-4$$

2. $$f(x)=1{,}5x^2,\quad x_0=2$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1{,}5(x+\Delta x)^2-1{,}5x^2}{\Delta x}$$

   $$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1{,}5(2x\Delta x+\Delta x^2)}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}1{,}5(2x+\Delta x)=3x$$

   $$f'(2)=3\cdot 2=6$$

3. $$f(x)=3x+2,\quad x_0=5$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(3(x+\Delta x)+2)-(3x+2)}{\Delta x}$$

   $$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3x+3\Delta x+2-3x-2}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3$$

4. $$f(x)=x^3+1,\quad x_0=-1$$

   $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^3+1-(x^3+1)}{\Delta x}$$

   $$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{3x^2\Delta x+3x\Delta x^2+\Delta x^3}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}(3x^2+3x\Delta x+\Delta x^2)=3x^2$$

   $$f'(-1)=3\cdot (-1)^2=3$$

Ответ: а) $$-4$$; б) $$6$$; в) $$3$$; г) $$3$$.