Упр.218 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите сумму:
   а) $$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}$$;
   б) $$2+\frac{3\cdot2}{2}+\frac{4\cdot3}{2^2}+\frac{5\cdot4}{2^3}+\cdots+\frac{(n+1)\cdot n}{2^{n-1}}$$.

Обозначим сумму в пункте а через $$S.$$ Тогда

$$S=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}.$$

Умножим её на $$\frac12$$:

$$\frac12S=\frac12+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^n}.$$

Вычтем второе равенство из первого:

$$S-\frac12S =1+\frac12+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n}.$$

Тогда

$$\frac12S=\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}-\frac{n}{2^n} =2\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)-\frac{n}{2^n}.$$

Следовательно,

$$S=4\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n}{2^{n-1}} =4-\frac{n+2}{2^{n-1}}.$$

Теперь рассмотрим пункт б. Пусть

$$S=2+3\cdot\frac{2}{2}+4\cdot\frac{3}{2^2}+5\cdot\frac{4}{2^3}+\cdots+(n+1)\cdot\frac{n}{2^{n-1}}.$$

Тогда

$$\frac12S=1+3\cdot\frac{2}{2^2}+4\cdot\frac{3}{2^3}+5\cdot\frac{4}{2^4}+\cdots+(n+1)\cdot\frac{n}{2^n}.$$

Вычтем:

$$S-\frac12S =2+2\cdot\frac{2}{2}+3\cdot\frac{2}{2^2}+4\cdot\frac{2}{2^3}+\cdots+\frac{2n}{2^{n-1}}-\frac{(n+1)n}{2^n}.$$

Получаем

$$\frac12S=2\left(1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}\right)-\frac{(n+1)n}{2^n}.$$

Из пункта а известно, что

$$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\cdots+\frac{n}{2^{n-1}}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}.$$

Тогда

$$\frac12S=2\left(4-\frac{n+2}{2^{n-1}}\right)-\frac{(n+1)n}{2^n},$$

откуда

$$S=16-\frac{4n+8}{2^{n-1}}-\frac{n^2+n}{2^{n-1}} =16-\frac{n^2+5n+8}{2^{n-1}}.$$

Ответ

а) $$4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$$; б) $$16-\frac{n^2+5n+8}{2^{n-1}}.$$