Упр.217 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производную и решим неравенство $$f'(x)<0$$ для каждого пункта.

1. $$f(x)=x^3-6x^2-63x$$

   $$f'(x)=3x^2-12x-63=3(x^2-4x-21)=3(x+3)(x-7)$$

   Решаем неравенство:

   $$3(x+3)(x-7)<0$$

   Так как множитель $$3>0$$, получаем

   $$x\in(-3;7).$$

2. $$f(x)=3x-5x^2+x^3$$

   $$f'(x)=3-10x+3x^2=3x^2-10x+3=3\left(x-\frac13\right)(x-3)$$

   Решаем неравенство:

   $$3\left(x-\frac13\right)(x-3)<0$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(\frac13;3\right).$$

3. $$f(x)=\frac23x^3-8x$$

   $$f'(x)=2x^2-8=2(x-2)(x+2)$$

   Решаем неравенство:

   $$2(x-2)(x+2)<0$$

   Отсюда

   $$x\in(-2;2).$$

4. $$f(x)=3x^2-9x-\frac13x^3$$

   $$f'(x)=6x-9-x^2=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$$

   Решаем неравенство:

   $$-(x-3)^2<0$$

   Квадрат неотрицателен, поэтому выражение отрицательно при всех $$x$$, кроме $$x=3$$.

   $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-3;7)$$; б) $$\left(\frac13;3\right)$$; в) $$(-2;2)$$; г) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$.