Упр.216 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдём производные данных функций и приравняем их к нулю.

1. $$f(x)=x^5-3\frac{1}{3}x^3+5x$$

   $$f'(x)=5x^4-10x^2+5=5(x^2-1)^2=5(x-1)^2(x+1)^2$$

   $$5(x-1)^2(x+1)^2=0$$

   Отсюда $$x=-1$$ или $$x=1$$.

2. $$f(x)=2x^4-x^8$$

   $$f'(x)=8x^3-8x^7=8x^3(1-x^4)=8x^3(1-x)(1+x)(1+x^2)$$

   $$8x^3(1-x)(1+x)(1+x^2)=0$$

   Так как $$1+x^2\neq 0$$ при всех действительных $$x$$, получаем:

   $$x^3(1-x)(1+x)=0$$

   Следовательно, $$x=0$$, $$x=1$$ или $$x=-1$$.

3. $$f(x)=x^4+4x$$

   $$f'(x)=4x^3+4=4(x^3+1)=4(x+1)(x^2-x+1)$$

   $$4(x+1)(x^2-x+1)=0$$

   Действительных корней у уравнения $$x^2-x+1=0$$ нет, поэтому

   $$x=-1$$.

4. $$f(x)=x^4-12x^2$$

   $$f'(x)=4x^3-24x=4x(x^2-6)=4x(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})$$

   $$4x(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})=0$$

   Отсюда $$x=0$$, $$x=-\sqrt{6}$$ или $$x=\sqrt{6}$$.

Ответ

а) $$x=-1,\,1$$;
б) $$x=-1,\,0,\,1$$;
в) $$x=-1$$;
г) $$x=-\sqrt{6},\,0,\,\sqrt{6}$$.