Упр.216 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите n-ю производную функции $$y=\frac{1}{x^2-3x+2}$$.

Разложим дробь на простые:

$$y(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}.$$

Представим её в виде суммы:

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}.$$

Тогда для производных получаем:

$$y^{(n)}(x)=\left(\frac{1}{x-2}\right)^{(n)}-\left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)}.$$

Используем формулу:

$$\left(\frac{1}{x-a}\right)^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{(x-a)^{n+1}}.$$

Следовательно,

$$y^{(n)}(x)=(-1)^n\frac{n!}{(x-2)^{n+1}}-(-1)^n\frac{n!}{(x-1)^{n+1}}.$$

Итак,

$$y^{(n)}(x)=(-1)^n n!\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right).$$

Ответ: $$y^{(n)}(x)=(-1)^n n!\left(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}\right).$$