Упр.215 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите производную функции: а) $$y=x^x$$; б) $$y=(\sin(x))^{\cos(x)}$$.

Найдём производные, используя логарифмическое дифференцирование.

а)

$$y=x^x$$

Представим функцию в показательной форме:

$$y=e^{x\ln x}$$

Тогда

$$y’=e^{x\ln x}\cdot (x\ln x)’$$

$$(x\ln x)’=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$$

Следовательно,

$$y’=x^x(\ln x+1)$$

б)

$$y=(\sin x)^{\cos x}$$

Возьмём логарифм:

$$\ln y=\cos x\cdot \ln(\sin x)$$

Дифференцируем обе части:

$$\frac{y’}{y}=(-\sin x)\ln(\sin x)+\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$

$$\frac{y’}{y}=-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}$$

Умножая на $$y$$, получаем:

$$y’=(\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2 x}{\sin x}\right)$$

Или, приведя к общему знаменателю,

$$y’=(\sin x)^{\cos x}\cdot \frac{\cos^2 x-\sin^2 x\ln(\sin x)}{\sin x}$$

Ответ

$$a)\; y’=x^x(\ln x+1), \qquad b)\; y’=(\sin x)^{\cos x}\cdot \frac{\cos^2 x-\sin^2 x\ln(\sin x)}{\sin x}.$$